Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

F-Paint il pantografo di Fourier

Il contesto classico in cui si può apprezzare il funzionamento della trasformata di Fourier è la rappresentazione di un segnale (ad esempio un suono) nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza. Da una parte si ha il classico grafico di funzione reale a variabile reale (ad esempio la pressione sonora in funzione del tempo), dall'altra il grafico in frequenza (quello mostrato, per intenderci, dagli equalizzatori grafici). Per questo utilizzo classico della trasformata di Fourier e per una descrizione dei calcoli potresti dare un'occhiata alla pagina di un altro mio progetto, Fourier.exe.

La trasformata di Fourier è in realtà definita anche per funzioni complesse a variabile reale e questo programma sfrutta questo fatto per darne un'interessante rappresentazione geometrica (per la rappresentazione geometrica dei numeri complessi in generale vedi Argand.exe).

Una semplice linea disegnata nel piano complesso con F-Paint.
Una semplice linea disegnata nel piano complesso con F-Paint.

La trasformata di una funzione reale

In realtà anche la trasformata di una funzione reale è una funzione complessa. I classici grafici in frequenza mostrano infatti il modulo della trasformata. Inoltre di norma mostrano solo metà dell'intera trasformata. La trasformata è costituita infatti sia di frequenze positive (che ruotano nel piano complesso in senso antiorario) sia di frequenze negative (che ruotano in senso orario).

Nel caso in cui il segnale di partenza sia reale i valori delle frequenze negative sono però il complesso coniugato dei valori delle frequenze positive, in modo che eseguendo l'antitrasformata si possa ottenere il segnale di partenza reale (la somma di un numero complesso per il suo complesso coniugato è sempre un numero reale). I moduli delle frequenze negative sono quindi uguali ai moduli di quelle positive (essendo il modulo del complesso coniugato uguale al modulo del numero stesso).

Un quadrato disegnato intorno all'origine del piano complesso.
Un quadrato disegnato intorno all'origine del piano complesso.

Disegnare nel piano complesso

In questo programma si sfrutta la trasformata di Fourier per disegnare nel piano complesso. Il segnale complesso a variabile reale viene disegnato sullo schermo che rappresenta il piano complesso. Si può immaginare l'asse del tempo perpendicolare allo schermo.

Appena finito di disegnare, quando si alza il pulsante del mouse (o si alza il dito dal touchpad) il programma inizia a ridisegnare il segnale disegnato mostrando i termini della trasformata di fourier.

Ogni termine è un numero complesso, quindi un segmento di lunghezza fissa sullo schermo, che ruota a velocità costante in senso antiorario (termini a frequenza positiva, in blu) o in senso orario (termini a frequenza negativa, in rosso). Il primo termine in grigio è fermo e rappresenta il centro geometrico del disegno. Gli altri termini ruotano a velocità crescenti e multiple.

Si può vedere come tutti questi termini sommati insieme, quindi posti in sequenza l'uno dopo l'altro, diano come risultato il segnale di partenza.

F-Paint 3

Funzionalità e opzioni del programma

Il programma permette di fermare o eseguire a singoli step l'animazione. Permette inoltre di registrare e salvare il risultato in formato GIF.

Nel menu View, oltre alla possibilità di abilitare e disabilitare la visualizzazione del segnale, degli assi e delle circonferenze, è presenta la voce Frequency domain graph. Se attivata vengono disegnati i diametri dei cerchi allineati verticalmente al centro e ordinati in base alla frequenza. Questo da la classica visualizzazione della funzione nel dominio della frequenza.

Essendo il segnale di partenza complesso (a meno di non disegnare solo sull'asse reale) i moduli dei termini a frequenza negativa non saranno uguali a quelli a frequenza positiva.

I diametri dei cerchi allineati verticalmente al centro e ordinati in base alla frequenza danno la classica visualizzazione della funzione nel dominio della frequenza.
I diametri dei cerchi allineati verticalmente al centro e ordinati in base alla frequenza danno la classica visualizzazione della funzione nel dominio della frequenza.