Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

Lissajous interferenze, battimenti e polarizzazione

"La carriera di un giovane fisico teorico consiste nel trattare l'oscillatore armonico a livelli di astrazione sempre crescenti."

Sidney Coleman

Questo programma permette di disegnare due sinusoidi $x(t)$ e $y(t)$, definendo per ognuna di esse le ampiezze $A_x$ e $A_y$, le pulsazioni $\omega_x = 2 \pi f_x$ e $\omega_y = 2 \pi f_y$ e gli sfasamenti $\theta_x$ e $\theta_y$ $$ \begin{alignedat}{2} x(t) &= A_x \cos \left( \omega_x t + \theta_x \right) \\[1ex] y(t) &= A_y \cos \left( \omega_y t + \theta_y \right) \end{alignedat} $$ È possibile osservare il modo in cui questi due segnali interferiscono nel segnale risultante $x(t) + y(t)$, generando il fenomeno dei battimenti. Inoltre, interpretando $x(t)$ e $y(t)$ come componente orizzontale e verticale di un'onda trasversale, è possibile visualizzarne la polarizzazione.

Interferenza e figura di Lissajous prodotte con due sinusoidi a differente frequenza.
Interferenza e figura di Lissajous prodotte con due sinusoidi a differente frequenza.

Il programma mostra in tutto 7 riquadri:

Polarizzazione ellittica generata da due sinusoidi alla medesima frequenza, ma con fase e ampiezze differenti.
Polarizzazione ellittica generata da due sinusoidi con medesima frequenza, ma fase e ampiezza differenti.

L'ampiezza complessa

Le ampiezze e gli sfasamenti vengono determinate a partire dalle ampiezze complesse, disegnabili in due appositi riquadri (se non ti è familiare la rappresentazione geometrica dei numeri complessi potrebbe interessarti il mio programma Argand.exe).

Questa comoda rappresentazione è possibile in sostanza perché un'oscillazione lineare può essere vista come l'ombra di una rotazione. Infatti, utilizzando la formula di Eulero si ha $$ \begin{alignedat}{2} f(t) &= A \cos \left( \omega \, t + \theta \right) \\ &= \text{Re} \Big( A \big( \cos \left( \omega \, t + \theta \right) + i \, \sin \left( \omega \, t + \theta \right) \big) \Big) \\ &= \text{Re} \! \left( A \, e^{i \left( \omega \, t \, + \, \theta \right)} \right) \\ &= \text{Re} \! \left( A \, e^{i \, \omega \, t} e^{i \, \theta} \right) \\ &= \text{Re} \! \left( \xi \, e^{i \, \omega \, t} \right) \end{alignedat} $$ dove $\xi = A \, e^{i \, \theta}$ è appunto l'ampiezza complessa corrispondente all'ampiezza $A$ e alla fase $\theta$.

Le frequenze (e quindi le pulsazioni) vengono invece determinate indicando i periodi $T_x = 1 / f_x$ e $T_y = 1 / f_y$ delle sinusoidi.

Cambiando la fase di una delle sinusoidi si ottiene una rotazione della figura di Lissajous.
Cambiando la fase di una delle sinusoidi si ottiene una rotazione della figura di Lissajous.

Le figure di Lissajous

Impostando due differenti periodi per le due sinusoidi è possibile osservare nel primo riquadro le cosiddette figure di Lissajous o di Bowditch, così chiamate in onore di Jules Antoine Lissajous e Nathaniel Bowditch che per primi e indipendentemente le studiarono nell'ottocento. Impostando invece il medesimo periodo e variando le due ampiezze complesse le figure di Lissajous scompaiono (o si riconducono a figure di Lissajous banali, a seconda di come si preferisce vederla) ed è possibile osservare la polarizzazione lineare, circolare ed ellittica.

Oltre alla linea, il cerchio e l'ellisse, che possono essere osservate per $\omega_x = \omega_y$, si può osservare una parabola per determinati valori delle fase quando le frequenze sono una il doppio dell'altra.

Negli altri casi solo se $\omega_x / \omega_y$ è razionale le figure di Lissajous sono chiuse, e in questo caso ricordano dei nodi tridimensionali. Variando la fase di una delle due sinusoidi è anche possibile farli ruotare intorno all'asse corrispondente alla sinusoide con frequenza minore. In teoria dei nodi si chiamano nodi di Lissajous i nodi le cui proiezioni corrispondono alle figure di Lissajous di questo tipo.

Animazione che mostra il collegamento tra le ampiezze complesse e le sinusoidi.
Animazione che mostra il collegamento tra le ampiezze complesse e le sinusoidi.

L'orientamento degli assi

Probabilmente avrete notato che gli assi del piano complesso per l'ampiezza complessa di $y(t)$ sono orientati in modo inconsueto. Ciò è stato fatto per mantenere la corripondenza tra ampiezza complessa e rispettivo grafico, mostrando come quest'ultimo è ottenuto dalla rotazione della prima con una sorta di proiezione (che corrisponde al prenderne la parte reale).

L'esponenziale complessa fa si che l'ampiezza complessa ruoti in senso antiorario intorno all'origine del piano complesso quando, come di consueto, l'asse reale è orientato verso destra e l'asse immaginario verso l'alto. Per mantenere la corrispondenza con il rispettivo grafico nell'ampiezza complessa della sinusoide $y$ gli assi sono quindi invertiti. In questo caso la rotazione è quindi oraria, come si vede nell'ultima animazione di questa pagina.