Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

QED.exe lo strano programma sulla luce e la materia

"Feynman mi parlò della sua versione della meccanica quantistica. L'elettrone fa tutto ciò che vuole, disse. Va semplicemente in qualsiasi direzione a qualsiasi velocità, avanti e indietro nel tempo, in qualsiasi modo gli piaccia, e poi tu sommi le ampiezze e ottieni la funzione d'onda. Gli dissi: sei pazzo. Ma non lo era."

Freeman Dyson

Questo programma permette di visualizzare, in alcuni semplici esperimenti ideali, i complicati calcoli della meccanica quantistica, nella sua formulazione data dagli integrali sui cammini. È ispirato al piccolo gioiello di divulgazione "QED: la strana teoria della luce e della materia" di Richard Feynman, autore, oltre che del libro in questione, anche della formulazione stessa degli integrali sui cammini e dei famosi diagrammi omonimi, che hanno portato l'elettrodinamica quantistica ad essere una delle più importanti e precise teorie della fisica moderna.

Propagazione: nel riquadro in alto a sinistra è possibile vedere la clotoide generata dai termini della somma.
Propagazione: nel riquadro in alto a sinistra è possibile vedere la clotoide generata dai termini della somma.

Se sei interessato ad altre mie simulazioni riguardanti la fisica potresti dare un'occhiata a Newton.exe.

Il calcolo

Il risultato dei calcoli viene mostrato in quattro modi differenti. Prima di tutto in alto a sinistra (riquadro 1) viene mostrata la curva che si ottiene nel piano complesso sommando tutti i termini complessi $\psi_k$ associati a ciascuno dei possibili cammini $$ \Psi = \sum_k \psi_k $$ (se la rappresentazione geometrica dei numeri complessi non ti è familiare potresti dare un'occhiata al mio programma Argand.exe). Il risultato della somma $\Psi$ è geometricamente il vettore che congiunge l'estremo finale della curva al punto iniziale (al centro), mentre la curva è in realtà una spezzata costituita da tutti i vettori che rappresentano i vari termini, ognuno posizionato con la "coda" in corrispondenza della "testa" del vettore che rappresenta il termine precedente, secondo la regola della somma nel piano complesso.

Ogni termine $\psi_k$ è calcolato a partire dall'azione $\mathcal{S}_k$ del rispettivo $k$-esimo cammino $$ \psi_k = e^{\frac{i}{\hbar} \, \mathcal{S}_k} $$ dove $e$ è la base dei logaritmi naturali, $i = \sqrt{-1}$ è l'unità immaginaria e $\hbar = \frac{h}{2 \pi}$ è la costante di Planck ridotta, in cui compare la costante di Planck $h = 6.626 \, 070 \, 15 \times 10^{-34} \, \text{J s}$. L'azione è una grandezza legata alla traiettoria di un sistema fisico nel proprio spazio delle fasi. Come la costante di Planck ha la dimensione di un energia per un tempo. Senza entrare nei dettagli (che si possono approfondire in un qualsiasi testo di meccanica razionale), negli esperimenti simulati in questo programma è sufficiente considerare l'azione direttamente proporzionale al tempo necessario a percorrere il rispettivo cammino e inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda della particella.

Vengono poi mostrate le varie componenti suddivise in piccoli gruppi di cui si vuol calcolare la probabilità (riquadro 2). Subito sotto (riquadro 3) si ha il corrispondente modulo quadrato, che rappresenta la probabilità dei corrispondenti cammini. $$ P = \Psi^* \Psi = \left| \Psi \right|^2 $$ (dove $\Psi$ indica ora la somma parziale dei cammini di cui si vuole calcolare la probabilità $P$ e $\Psi^*$ indica il complesso coniugato di $\Psi$). Infine in alto a destra (riquadro 4) vengono mostrate le probabilità ottenute in modo da dare una visualizzazione schematica dell'esperimento. Questo riquadro è quindi differente per ogni esperimento.

Riflessione: il risultato che si ottiene sommando tutti i possibili cammini è in accordo con l'ottica geometrica.
Riflessione: il risultato che si ottiene sommando tutti i possibili cammini è in accordo con l'ottica geometrica.

Sono disponibili 4 differenti esperimenti. In ognuno di essi è possibile regolare la lunghezza d'onda delle particelle quantistiche simulate, più eventualmente altri parametri particolari per lo specifico esperimento.

Gli esperimenti

Il primo più che un vero e proprio esperimento è una dimostrazione del calcolo fondamentale che sta alla base della simulazione: la propagazione di una particella. Possiamo immaginare che l'esperimento sia effettuato con fotoni, elettroni o qualsiasi altra particella, atomo o molecola, il paradigma che stiamo applicando può essere applicato a tutti i sistemi microscopici. La particella è emessa in un punto e assorbita da uno schermo dotato di una serie di rilevatori. Per semplicità sono contati nel calcolo solo i percorsi rettilinei. L'azione è proporzionale al tempo di percorrenza che è a sua volta proporzionale alla distanza tra il punto di emissione e il punto dello schermo. In assenza di fenomeni quantistici si può notare come la curva del primo riquadro assuma la forma di una clotoide (o spirale di Eulero).

Il secondo esperimento simula la riflessione, in cui non si presentano fenomeni quantistici, si ottiene una clotoide e si osserva semplicemente che in questo caso le regole quantistiche ci danno gli stessi risultati di quelle classiche, cioè il percorso con maggiore probabilità è quello con angolo di incidenza pari all'angolo di riflessione.

Rifrazione: emerge come media la legge di Snell.
Rifrazione: emerge come media la legge di Snell.

Il terzo permette di simulare la rifrazione, con la possibilità di indicare la velocità relativa del secondo mezzo rispetto al primo. Anche qui si può osservare come le regole quantistiche ci permettono di ottenere, mediamente, i medesimi risultati delle leggi classiche, laddove queste ultime possono essere applicate con successo. Nel caso della rifrazione otteniamo in alto a destra una figura perfettamente in accordo con la legge di Snell. È inoltre possibile introdurre uno spigolo vivo e osservare, al variare della lunghezza d'onda, i fenomeni di diffrazione.

Diffrazione nell'esperimento della doppia fenditura.
Diffrazione nell'esperimento della doppia fenditura.

Infine abbiamo il classico esperimento della doppia fenditura. Giocando con la lunghezza d'onda e la distanza tra le due fenditure si possono ottenere interessanti figure di interferenza.

Interessante figura di interferenza nell'esperimento della doppia fenditura.
Interessante figura di interferenza nell'esperimento della doppia fenditura.