Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

Schlafli i politopi regolari

"Ancora una volta mi sentii sollevare nello Spazio. Era proprio come la Sfera aveva detto. Più ci allontanavamo dall'oggetto che stavamo osservando, più il campo visivo aumentava. La mia città natia, con l'interno di ogni casa e di ogni creatura ivi contenuta, si apriva al mio sguardo come in miniatura. Salimmo ancora e, oh, i segreti della terra, le profondità delle miniere e le più remote caverne dei monti, tutto si svelava davanti a me!"

Flatlandia, 1884, Edwin Abbott

$$ 1 , 1 , \infty , 5 , 6 , 3 , 3 , 3 , ... $$

La definizione di $n$-politopo regolare è data in modo ricorsivo: in dimensione $n$ un $n$-politopo regolare è un politopo le cui facce $\left( n − 1 \right)$-dimensionali sono un certo numero di $\left( n − 1 \right)$-politopi regolari identici.

Corpus Hypercubus, olio su tela, 1954, Salvador Dalì.
"Corpus Hypercubus", olio su tela, 1954, Salvador Dalì.
(immagine a bassa risoluzione per uso didattico senza scopo di lucro, vedi art. 2 legge 9 gennaio 2008 n. 2)

$n = 0$

Esiste solo il punto. Per definizione il punto è l'unico $0$-politopo regolare.

$n = 1$

Esiste solo il segmento. Il segmento è costituito da $2$ punti. Essendo tutti i punti identici anche il segmento è un $1$-politopo regolare, avendo come facce $0$-dimensionali $2$ $0$-politopi regolari identici.

$n = 2$

I $2$-politopi regolari sono gli infiniti poligoni regolari. In notazione di Schlafli (Ludwig Schlafli, matematico svizzero dell'ottocento) si indicano con $\left\{ k \right\}$, per ogni $2 < k \in \mathbb{N}$. $\left\{ 3 \right\}$ è il triangolo, $\left\{ 4 \right\}$ è il quadrato, $\left\{ 5 \right\}$ è il pentagono, $\left\{ 6 \right\}$ è l'esagono, eccetera. Il poligono regolare $\left\{ k \right\}$ è costituito da $k$ segmenti identici.

$n = 3$

In notazione di Schlafli $\left\{ k , h \right\}$ è un poliedro regolare avente come facce il poligono regolare $\left\{ k \right\}$ e in cui in ogni vertice incidono $h$ facce.

$\left\{ k , h \right\}$ con $3 > k > 5$ non può essere un poliedro regolare. Con $k < 3$ non esistono poligoni regolari $\left\{ k \right\}$, mentre con $k > 5$ si ha il problema che per avere un solido in un vertice devono convergere almeno $3$ facce e già con l'esagono si ha $3 \times \left( \pi - 2 \pi / 6 \right) = 2 \pi$ (essendo $\left(\pi - 2 \pi / k \right)$ l'angolo interno di un poligono regolare avente $k$ lati), mentre per formare un poliedro l'angolo dovrebbe essere minore dell'angolo giro. A maggior ragione per $k > 6$.

Con $k = 3 , 4 , 5$ si ha rispettivamente il tetraedro $\left\{ 3 , 3 \right\}$, il cubo $\left\{ 4 , 3 \right\}$ e il dodecaedro $\left\{ 5 , 3 \right\}$.

Nel poliedro duale ad ogni vertice corrisponde una faccia (per $n < 3$ il concetto di dualità porta a risultati banali). Usando la notazione di Schlafli si ha quindi che il duale di $\left\{ k , h \right\}$ è $\left\{ h , k \right\}$. Se $k = h$ il poliedro è autoduale. Il tetraedro è autoduale. Il duale del cubo è l'ottaedro $\left\{ 3 , 4 \right\}$. Il duale del dodecaetro è l'icosaedro $\left\{ 3 , 5 \right\}$.

Non esistono altri poliedri regolari oltre a questi $5$, che sono detti solidi platonici (furono studiati fin dall'antichità, da Pitagora e Platone). Le combinazioni rimanenti sarebbero $\left\{ 4 , 4 \right\}$, $\left\{ 4 , 5 \right\}$, $\left\{ 5 , 4 \right\}$ e $\left\{ 5 , 5 \right\}$ che si escludono facilmente ($4 \times \left( \pi - 2 \pi / 4 \right) = 2 \pi$, $5 \times \left( \pi - 2 \pi / 4 \right) = 5 \pi / 2$, eccetera).

$n = 4$

Il $4$-politopo regolare $\left\{ k , h , j \right\}$ è costituito da celle $\left\{ k , h \right\}$ e $j$ celle incidono su ogni spigolo. Esistono $6$ politopi regolari tetradimensionali: pentatopo, $16$-cella, tesseratto, $24$-cella, $120$-cella e $600$-cella.

$n > 4$

In dimensione $n > 4$ esistono solo $3$ politopi regolari. È abbastanza intuitivo capire che è possibile costruirli in dimensione arbitraria, meno intuitivo è dimostrare che per $n > 4$ sono i soli possibili.

Il primo si chiama simplesso e continua la sequenza: punto, segmento, triangolo, tetraedro, $5$-cella, eccetera. Ha simbolo di Schlafli $\left\{ 3 , 3 , ... , 3 \right\}$. Un $n$-simplesso ha $n + 1$ vertici: uno per ogni asse più uno nell'origine. Il nome viene dal fatto che è il politopo (non solo regolare) con minor numero di vertici, quindi più semplice, che è possibile costruire.

Il secondo è chiamato in inglese cross-polytope. Continua la sequenza: punto, segmento, quadrato, ottaedro, $16$-cella, eccetera. Ha simbolo di Schlafli $\left\{ 3 , ... , 3 , 4 \right\}$. In dimensione $n$ ha $2 \, n$ vertici: due per ogni asse (uno nel semiasse negativo e uno nel semiasse positivo), da cui il nome.

Il terzo è chiamato in inglese measure-polytope e è il duale del secondo, quindi ha simbolo di schlafli $\left\{ 4 , 3 , ... , 3 \right\}$. Continua la sequenza: punto, segmento, quadrato, cubo, tesseratto, eccetera.

Dimensione Numero Nome Simbolo Vertici Spigoli Facce Celle
$0$ $1$ punto
$1$ $1$ segmento $2$
$2$ $\infty$ poligoni regolari $\left\{ k \right\}$ $k$ $k$
$3$ $5$ tetraedro $\left\{ 3 , 3 \right\}$ $4$ $6$ $4 \times \left\{ 3 \right\}$
ottaedro $\left\{ 3 , 4 \right\}$ $6$ $12$ $8 \times \left\{ 3 \right\}$
cubo $\left\{ 4 , 3 \right\}$ $8$ $12$ $6 \times \left\{ 4 \right\}$
icosaedro $\left\{ 3 , 5 \right\}$ $12$ $30$ $20 \times \left\{ 3 \right\}$
dodecaedro $\left\{ 5 , 3 \right\}$ $20$ $30$ $12 \times \left\{ 5 \right\}$
$4$ $6$ $5$-cella $\left\{ 3 , 3 , 3 \right\}$ $5$ $10$ $10 \times \left\{ 3 \right\}$ $5 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
$16$-cella $\left\{ 3 , 3 , 4 \right\}$ $8$ $24$ $32 \times \left\{ 3 \right\}$ $16 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
tesseratto $\left\{ 4 , 3 , 3 \right\}$ $16$ $32$ $24 \times \left\{ 4 \right\}$ $8 \times \left\{ 4 , 3 \right\}$
$24$-cella $\left\{ 3 , 4 , 3 \right\}$ $24$ $96$ $96 \times \left\{ 3 \right\}$ $24 \times \left\{ 3 , 4 \right\}$
$600$-cella $\left\{ 3 , 3 , 5 \right\}$ $120$ $720$ $1200 \times \left\{ 3 \right\}$ $600 \times \left\{ 3 , 3 \right\}$
$120$-cella $\left\{ 5 , 3 , 3 \right\}$ $600$ $1200$ $720 \times \left\{ 5 \right\}$ $120 \times \left\{ 5 , 3 \right\}$
$n$ $3$ simplesso $\left\{ 3 , 3 , ... , 3 \right\}$ $n + 1$ ... ... ...
cross-polytope $\left\{ 3 , ... , 3 , 4 \right\}$ $2 \, n$ ... ... ...
measure-polytope $\left\{ 4 , 3 , ... , 3 \right\}$ $2^n$ ... ... ...