Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

Tullio (BOZZA) il simbolo di Levi-Civita

Tullio Levi-Civita è stato un grande matematico italiano vissuto a cavallo tra il XIX e il XX secolo. È ricordato soprattutto perché, in collaborazione con il suo insegnante Gregorio Ricci Curbastro (che da il nome al tensore di Ricci), pubblicò nel 1900 un articolo fondamentale che pose le basi per il calcolo tensoriale. Tale articolo forniva gli strumenti che, tra le altre cose, sarebbero stati utilizzati da Einstein per la sua teoria della relatività generale del 1915.

In suo onore si chiama simbolo di Levi-Civita lo pseudotensore antisimmetrico $n$-dimensionale di ordine $n$, che in dimensione $2$, ad esempio, sarà semplicemente $$ \varepsilon_{ij} = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$

In suo onore mi sono permesso di chiamare "Tullio" (spero che mi perdonerà la confidenza) questa pagina che cerca di ripercorre gli innumerevoli ambiti in cui questa importante nozione, declinata in vari modi, svolge un ruolo cruciale.

Permutazioni pari e dispari

Il simbolo di Levi-Civita compare in svariati ambiti della matematica perché in sostanza è un modo per esprimere il concetto di parità di una permutazione. Una permutazione semplice (senza ripetizioni) di $n$ elementi si dice pari se è ottenibile dalla sequenza di partenza con un numero pari di scambi, dispari viceversa.

Consideriamo ad esempio le prime $n$ lettere dell'alfabeto. Per $n = 2$ abbiamo banalmente $\text{AB}$ come permutazione pari e $\text{BA}$ come permutazione dispari. Per $n = 3$ abbiamo $\text{ABC}$, $\text{BCA}$ e $\text{CAB}$ come permutazioni pari e $\text{CBA}$, $\text{BAC}$ e $\text{ACB}$ come permutazioni dispari. Notiamo come le permutazioni pari in un certo senso mantengono la stessa sequenza, cambiandone solo la lettera di partenza, e allo stesso modo le dispari, ma con ordine invertito. Passando a $n = 4$ le cose si complicano un po', ma il concetto resta lo stesso. In generale il numero di permutazioni semplice di $n$ elementi è $n!$, in quanto abbiamo prima di tutto la possibilità di scegliere $1$ tra gli $n$ elementi per la prima posizione, poi $n - 1$ possibilità per la seconda, e così via, fino alla penultima scelta in cui ci resteranno $2$ possibilità e infine l'ultima che sarà obbligata. Questo corrisponde proprio a $n! = n \left( n - 1 \right) ... 2$.

Il simbolo di Levi-Civita vale $1$ per le permutazioni pari degli indici, $-1$ per quelle dispari, mentre quando compare una ripetizione di indice vale $0$. Questo è dovuto alla richiesta di completa antisimmetria rispetto alla scambio di ogni coppia di indici.

Tensori e pseudotensori

È possibile definire i tensori in modo molto elegante ed astratto a partire dal concetto di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali, ma per non dilungarci troppo, per i nostri fini (la definizione di pseudotensore) è sufficiente darne una definizione molto più pragmatica e "da fisico". Un tensore $n$-dimensionale di ordine $k$ è una grandezza che può essere rappresentata da $n^k$ coordinate che al cambio del sistema di riferimento si trasformano come il prodotto di $k$ vettori.

Uno pseudotensore è una grandezza che può essere rappresentata da $n^k$ coordinate che al cambio del sistema di riferimento si trasformano come il prodotto di $k$ vettori nel caso di una rotazione, mentre cambia di segno nel caso di una riflessione. Questo è legato al fatto che gli pseudotensori "codificano" il concetto di rotazione e, una volta stabilita una regola per il segno (ad esempio la classica regola della mano destra che si utilizza nel caso tridimensionale), questa deve essere mantenuta sempre. Ciò implica un cambio di segno nel caso uno degli assi del sistema di riferimento cambi di segno. Per le rotazioni ciò non avviene e ciò è dovuto al fatto che un rotazione può sempre essere espressa attraverso due riflessioni e il doppio cambio di segno si annulla nel risultato finale.

Il prodotto di un tensore per uno pseudotensore è ancora uno pseudotensore, mentre il prodotto di due pseudotensori è un tensore, perché il doppio cambio di segno si annulla.

Il ruolo degli pseudovettori, cioè gli pseudotensori di ordine $1$, è evidenziato nel caso tridimensionale dal fatto che sono anche chiamati vettori assiali.

Il fatto che gli pseudotensori abbiano a che fare con le rotazioni è coerente con il fatto che la definizione di pseudotensore antisimmetrico non ha senso in dimensione $1$ (con un singolo indice non c'è nulla da antisimmetrizzare) dove pure la nozione di rotazione non ha senso.

Duali di Hodge

Grazie al simbolo di Levi-Civita possiamo passare da tensori $n$-dimensionali di ordine $k$ a pseudotensori di ordine $n - k$ (o da pseudotensori di ordine $k$ a tensori di ordine $n - k$). Il risultato di questa trasformazione è chiamato duale di Hodge e il duale di un tensore $a$ si indica con $\star a$. Questo viene fatto contraendo tutti gli indici possibili tra il tensore di ordine $k$ e lo pseudotensore antisimmetrico di ordine $n$. Ad esempio nel caso tridimensionale avremo $4$ possibilità $$ \left( \star a \right)_{ijk} = \varepsilon_{ijk} \, a $$ $$ \left( \star a \right)_{ij} = \sum_k \varepsilon_{ijk} \, a_k $$ $$ \left( \star a \right)_i = \sum_j \sum_k \varepsilon_{ijk} \, a_{jk} $$ $$ \star a = \sum_i \sum_j \sum_k \varepsilon_{ijk} \, a_{ijk} $$ contraendo lo pseudotensore con tensori di ordine $0$, $1$, $2$ e $3$ rispettivamente. Nel caso bidimensionale ci saranno $3$ possibilità, nel caso quadridimensionale $5$, eccetera.

In dimensione $3$ il passaggio da vettori a pseudotensori di ordine $3 - 1 = 2$ è legato al prodotto vettoriale. In dimensione $4$ il passaggio da tensori di ordine $2$ a pseudotensori di ordine $4 - 2 = 2$ e da quadrivettori a tensori di ordine $4 - 1 = 3$ è utile per descrivere le leggi dell'elettromagnetismo.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno (o in inglese prodotto wedge, o ancora prodotto Grassmann, dal nome di Hermann Grassmann che per primo, in grande anticipo con i tempi, lo definì, perfino prima che fosse definito da Heaviside e Gibbs il prodotto vettoriale che in un certo senso generalizza) tra due tensori $a$ e $b$ di ordine $k$ e $h$ si indica con $a \wedge b$ ed è un tensore di ordine $k + h$ avente come componenti la somma dei prodotti delle componenti prese con tutte le possibili permutazioni di indici, predendo il valore positivo per le permutazioni pari, negativo per le permutazioni dispari. Il numero di addendi è quindi pari al numero di permutazioni semplici (senza ripetizioni), che è pari al fattoriale di $k + h$, e il risultato è antisimmetrico per definizione.

Nel caso specifico del prodotto esterno tra due vettori, vale a dire il prodotto esterno tra due tensori di ordine $1$, il risultato è un tensore doppio antisimmetrico $$ \left( a \wedge b \right)_{ij} = a_i \, b_j - a_j \, b_i $$ chiamato bivettore.

Nel caso particolare di $n = 3$ un bivettore risulta $$ \left( a \wedge b \right)_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & a_x \, b_y - a_y \, b_x & a_x \, b_z - a_z \, b_x \\ a_y \, b_x - a_x \, b_y & 0 & a_y \, b_z - a_z \, b_y \\ a_z \, b_x - a_x \, b_z & a_z \, b_y - a_y \, b_z & 0 \end{array} \right) $$ e il suo duale di Hodge è uno pseudotensore di ordine $3 - 2 = 1$, quindi uno pseudovettore che non è altro che il risultato dell'ordinario prodotto vettoriale, infatti si vede che $$ \left( a \wedge b \right)_{ij} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \left( a \times b \right)_z & -\left( a \times b \right)_y \\ -\left( a \times b \right)_z & 0 & \left( a \times b \right)_x \\ \left( a \times b \right)_y & -\left( a \times b \right)_x & 0 \end{array} \right) $$ dove $$ \left( a \times b \right)_i = \sum_j \sum_k \varepsilon_{ijk} \, a_j \, b_k $$ (in questo modo tra l'altro si evita il fastidioso abuso di notazione della definizione di prodotto vettoriale data utilizzando il determinante di una matrice).

È importante notare come questa operazione che associa un vettore ad una coppia di vettori sia possibile solo in dimensione $3$. Questo è dovuto in sostanza al fatto che il caso tridimensionale è l'unico in cui il numero di dimensioni coincide con il numero di grandezze necessarie a specificare una rotazione. In dimensione $2$ ne basta $1$, in dimensione $4$ ne servono $6$, in generale in dimensione $n$ ne servono $n \left( n - 1 \right) / 2$, che sono proprio il numero di componenti indipendenti di un tensore doppio antisimmetrico.

In dimensione $4$ invece un bivettore può essere scritto nella forma $$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & a_x & a_y & a_z \\ -a_x & 0 & -b_z & b_y \\ -a_y & b_z & 0 & -b_x \\ -a_z & -b_y & b_x & 0 \end{array} \right) $$ dove le componenti $a_x$, $a_y$ e $a_z$ si trasformano al cambio del sistema di riferimento come un vettore tridimensionale, mentre le coordinate $b_x$, $b_y$ e $b_z$ si trasfromano come uno pseudovettore. Questo ci tornerà utile quando parleremo delle equazioni di Maxwell.

Derivata esterna e teorema di Stokes-Cartan

Il prodotto esterno permette di definire la derivata esterna $\partial \wedge f$ di un campo tensoriale $f$ di ordine $k$, che è il prodotto esterno tra il vettore formato dalle derivate parziali $\partial_i = \partial / \partial x^i$, dove $x^i$ indica delle generiche coordinate $n$-dimensionali, e il tensore stesso. Sarà quindi l'antisimmetrizzazione del prodotto tensoriale $$ \partial_i f_{j ...} $$ ovvero la somma di tutte le $k!$ possibili permutazioni di indici presi con segno positivo se pari, negativo se dispari. Essa è la naturale generalizzazione dell'operazione di differenziazione in spazi $n$-dimensionali. Essendo il primo fattore un tensore di ordine $1$, la derivata esterna di un tensore di ordine $k$ sarà un tensore di ordine $k + 1$.

Il teorema di Stokes-Cartan è dovuto, nella sua forma moderna, ad Élie Cartan, che unificò i risultati di George Green, Lord Kelvin, Michail Ostrogradskij e George Stokes. Detto a volte teorema di Stokes generalizzato o anche semplicemente teorema di Stokes, afferma che per ogni dimensione $n > 0$, per ogni $0 \leq k < n$, si ha $$ \int_\Omega \partial \wedge f \, d\Omega = \oint_{\partial \Omega} f \, d\partial \Omega $$ dove $\Omega$ è una superficie di dimensione $k + 1$ (il teorema richiede che $\Omega$ sia una varietà differenziabile non infinita, senza buchi e senza parti di bordo rimosse), $\partial \Omega$ è il suo bordo (il bordo, frontiera o contorno di uno spazio topologico è la chiusura dell'insieme meno il suo interno), quindi una superficie di dimensione $k$. $f$ è un campo tensoriale di ordine $k$, $\partial \wedge f$ è la sua derivata esterna, quindi un campo tensoriale di ordine $k + 1$. $d\Omega$ è l'elemento di volume infinitesimo $(k + 1)$-dimensionale, $d\partial \Omega$ è l'elemento di volume $k$-dimensionale. In uno spazio $n$-dimensionale avremo quindi $n$ declinazioni del teorema, per campi tensoriali di ordine $k = 0, 1, ..., n - 1$.

Le varie declinazioni sono ad esempio il teorema fondamentale del calcolo integrale che corrisponde all'unica declinazione possibile con $n = 1$ $$ \int_a^b \frac{df(x)}{dx} dx = f(b) - f(a) $$ Le tre declinazioni possibile per n = 3 corrispondono invece al teorema del gradiente, al teorema del rotore (detto anche teorema di Kelvin o teorema di Kelvin-Stokes) e al teorema della divergenza (detto anche teorema di Ostrogradskij) $$ \int_C \nabla f \cdot dl = f(b) - f(a) $$ $$ \int_S \left( \nabla \times f \right) \cdot u \, dS = \oint_C f \cdot dl $$ $$ \int_V \nabla \cdot f \, dV = \oint_S f \cdot u \, dS $$ A partire della forma generale si possono ottenere queste forme particolari grazie all'utilizzo dei duali di Hodge, e quindi in sostanza grazie al simbolo di Levi-Civita.

Equazioni di Maxwell

La derivata esterna e i duali di Hodge costituiscono gli strumenti essenziali per una formulazione semplice ed elegante delle equazioni di Maxwell in forma quadridimensionale e relativisticamente invariante "a vista".

Utilizzando unità di misura in cui $c = 0$ tale forma è data da $$ \partial \wedge \star F = 4 \pi \, {\star J} $$ $$ \partial \wedge F = 0 $$ dove $F$ e $J$ sono tensori che definiremo tra poco.

Grazie al lemma di Poincaré esse possono essere derivate direttamente dalla definizione del bivettore $F_{ij}$ a partire dal quadripotenziale $A_i$ e dall'equazione di continuità, quindi la conservazione della carica elettrica, legge che in una teoria relativistica non può che essere continua a causa della relatività del concetto di simultaneità. $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot j $$ $$ J^i = \left( \begin{array}{c} \rho \\ j_x \\ j_y \\ j_z \end{array} \right) $$ $$ \partial_i J^i = 0 $$ $$ \left( \star J \right)_{ijk} = \sum_l \varepsilon_{ijkl} J^l $$ Un tensore $4$-dimensionale di ordine $3$ ha ben $4^3 = 64$ componenti, che corrispondono alle disposizioni con ripetizioni di classe $3$ di $4$ elementi. Solo le componenti senza ripetizione di indici saranno diverse da zero. Esse saranno le disposizioni semplici di ordine $3$ di $4$ elementi. Per calcolarne il numero seguiamo lo stesso ragionamento fatto per le permutazioni semplici, ma con solo $k$ fattori, quindi nella sequenza $n$, $n - 1$, ..., ci fermiamo al fattore $n - \left( k - 1 \right)$, cioè a $n - k + 1$. Il primo escluso è quindi $n - k$ e quindi i fattori esclusi corrispondono a quelli di $\left( n - k \right)!$, termine per il quale dovremo quindi dividere $n!$. Quindi $$ \frac{n!}{\left( n - k \right)!} = \frac{4!}{\left(4 - 3 \right)!} = 24 $$ Di queste $24$ quelle che si ottengono le une dalle altre cambiando solamente l'ordine degli indici potranno cambiare al più per il segno. Le componenti indipendenti saranno quindi le combinazioni semplici di lunghezza $3$ di $4$ elementi. In questo caso, non contando l'ordine, dovremo ulteriormente dividere il numero di disposizioni semplici per il numero di permutazioni semplici di $k$ elementi, quindi $k!$, quindi $$ \frac{n!}{\left( n - k \right)! \, k!} = \frac{4!}{(4 - 3)! \, 3!} = \frac{24}{6} = 4 $$ che corrispondono alle $4$ componenti del quadrivettore densità di corrente $J^i$. Per ognuna di esse abbiamo altre $2$ combinazioni uguali, permutando i primi $3$ indici di $\epsilon_{i j k l}$, infatti $$ \begin{array}{l} \star J_{1 2 3} = \epsilon_{1 2 3 i} J^i = \epsilon_{2 3 1 i} J^i = \epsilon_{3 1 2 i} J^i = J^0 = \rho \\ \star J_{2 3 0} = \epsilon_{2 3 0 i} J^i = \epsilon_{3 0 2 i} J^i = \epsilon_{0 2 3 i} J^i = J^1 = j_x \\ \star J_{3 0 1} = \epsilon_{3 0 1 i} J^i = \epsilon_{0 1 3 i} J^i = \epsilon_{1 3 0 i} J^i = J^2 = j_y \\ \star J_{0 1 2} = \epsilon_{0 1 2 i} J^i = \epsilon_{1 2 0 i} J^i = \epsilon_{2 0 1 i} J^i = J^3 = j_z \end{array} $$ per un totale di $12$ componenti uguali a $3$ a $3$. Inoltre altri $12$ componenti saranno uguali a $3$ a $3$ e saranno i medesimi termini con segno opposto, arrivando così alle $24$ componenti diverse da zero. $$ \partial \wedge \star J = 0 $$ $$ F = \partial \wedge A $$ La derivata esterna del quadripotenziale ci da un bivettore, la cui componenti, come abbiamo già visto, possono essere interpretate come un vettore e uno pseudovettore tridimensionali. Questi non sono altro che il vettore campo elettrico $E$ e il vettore assiale campo magnetico $B$, secondo la matrice $$ F_{ij} = \left( \begin{array}{cccc} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{array} \right) $$ Essendo la derivata esterna di $A$ la sua derivata esterna è nulla, il che corrisponde all'equazione di Maxwell omogenea.

Numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati da matrici $2 \times 2$. Ogni numero nella forma $a + i \, b$ corrisponde infatti ad una matrice nella forma $$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right) $$ In questa forma la moltiplicazione complessa è rappresentata dall'usuale prodotto "riga per colonna", com'è facile verificare $$ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} c & d \\ -d & c \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a \, c - b \, d & a \, d + b \, c \\ -a \, d - b \, c & a \, c - b \, d \end{array} \right) $$ Il ruolo dell'unità immaginaria è svolto dalla matrice unitaria antisimmetrica, infatti $$ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) $$ cioè $\varepsilon_{ik} \varepsilon_{kj} = -\delta_{ij}$ che può essere riscritto senza indici nella forma $\varepsilon^2 = -\delta$ in cui si vede chiaramente che è l'analogo di $i^2 = -1$.

Quaternioni (prima o dopo gli spinori?).

Spinori

Da un punto di vista puramente algebrico gli spinori possono essere visti come l'analogo dei vettori in cui il ruolo del tensore metrico $g_{ij}$ viene svolto dallo pseudotensore unitario antisimmetrico $\varepsilon_{ij}$.