Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

VonMangoldt.exe la musica dei numeri primi

"C'è una cosa di cui i non matematici non si rendono conto: la matematica è in realtà quasi interamente un soggetto estetico."

John Horton Conway

Il legame tra gli zeri della funzione zeta di Riemann e la distribuzione dei numeri primi è uno di quegli argomenti in cui si può toccare con mano l'estetica di cui parla Conway. Lo scopo di questo piccolo programma è quello di farvi intravvedere questa bellezza, dandovi un'idea intuitiva del fatto che gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann diventano delle note, che suonate contemporaneamente, in una sorta di accordo infinito, ci suonano la distribuzione dei numeri primi.

Il grafico con la funzione di enumerazione dei numeri primi e le due funzioni di Chebyshev.
Il grafico con la funzione di enumerazione dei numeri primi e le due funzioni di Chebyshev.

Le funzioni di enumerazione dei numeri primi

Per farlo viene disegnata la cosiddetta formula esplicita per la seconda funzione di Chebyshev. Questa formula è stata dimostrata nel 1895 da Hans Carl Friedrich von Mangoldt, da cui il nome del programma, ma trae origine dal fondamentale articolo "Sul numero di numeri primi al di sotto di una certa grandezza" pubblicato nel 1859 da Bernhard Riemann.

Per rendere chiaro il senso di questa funzione viene affiancata da altre due importanti funzioni. La funzione di enumerazione dei numeri primi, in blu, da semplicemente il numero di primi minori o uguali a $x$. In formula $$ y = \sum_{p \leq x} 1 $$ La prima funzione di Chebyshev, in azzurro, è una sua versione pesata $$ y = \sum_{p \leq x} \ln p $$ Infine si ha la seconda funzione di Chebyshev, che a differenza della prima conta le potenze dei primi minori o uguali a $x$ $$ y = \sum_{p^k \leq x} \ln p $$ Il senso di usare questa funzione al posto della normale funzione di enumerazione dei numeri primi sta proprio nel poter mostrare direttamente il legame tra la distribuzione dei numeri primi e gli zeri della funzione zeta di Riemann.

Il grafico con le prime 2 coppie di zeri non banali.
Il grafico con le prime 2 coppie di zeri non banali.

La funzione zeta di Riemann

La funzione zeta è una funzione complessa a variabile complessa (che ho disegnato, tra le altre, con il mio programma ImMap) che ha due tipologie di zeri (i punti in cui si annulla sia la parte reale che la parte immaginaria della funzione).

I primi, detti zeri banali, sono gli interi pari negativi. Gli zeri non banali sono invece l'argomento della famosa ipotesi di Riemann, uno dei più importanti problemi aperti della matematica.

L'ipotesi di Riemann afferma che gli zeri non banali hanno tutti parte reale pari ad $1 / 2$, sono quindi disposti nella cosiddetta retta critica $Re(z) = 1/2$. Si può dimostrare che essi si trovano tutti nella striscia critica $0 \lt Re(z) \lt 1$ e sono simmetrici sia rispetto alla retta critica che rispetto all'asse reale.

Hardy (ne approfitto per consigliare la lettura del suo Apologia di un matematico) ha dimostrato che ci sono infiniti zeri sulla retta critica e è stata verificata la veridicità dell'ipotesi per i primi $10^{13}$ zeri (nel 2014 da Xavier Gourdon, usando l'algoritmo Odlyzko-Schönhage), ma l'ipotesi resta ancora indimostrata.

Il grafico con le prime 100 coppie di zeri non banali.
Il grafico con le prime 100 coppie di zeri non banali.

I termini della formula

La formula esplicita è costituita da 4 termini. Il primo ha segno positivo e vale $$ \frac{x^1}{1} = x $$ (il senso di esplicitare esponente e denominatore unitario, ininfluenti, è per coerenza con i termini successivi) e corrisponde al punto in cui la funzione ha una singolarità (un polo semplice, quindi un punto in cui il modulo della funzione tende ad infinito).

I rimanenti termini sono sottratti al primo. Il secondo termine è $$ \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} = \ln \, 2 \pi $$ quindi il rapporto tra la derivata della funzione e il suo valore nell'origine del piano complesso.

Il terzo termine corrisponde alla somma degli infiniti zeri banali $-2k$ nella forma $x^{-2k} / {-2k}$ $$ \sum_k \frac{x^{-2k}}{-2k} = \frac{1}{2} \ln \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) $$ con $k \in \mathbb{N^+}$.

Allo stesso modo il quarto termine corrisponde alla somma degli infiniti zeri non banali $\rho$ nella forma $x^\rho / \rho$. $$ \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} $$ Muovendo il cursore di destra si può modificare il numero di coppie di zeri usati in quest'ultima sommatoria.

Nel riquadro principale viene quindi disegnato il grafico della funzione $$ y = x - \ln \, 2 \pi - \frac{1}{2} \ln \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} $$ con un numero di termini per l'ultima sommatoria da $0$ a $200$ (quindi usando da $0$ a $100$ coppie di zeri non banali della funzione Zeta).

Come si vede dalla formula esplicita, a differenza della funzione di enumerazione dei numeri primi, che è asintotica a $x / \ln \left( x \right)$ (cioè il limite per $x$ che tende ad infinito del rapporto tra le due funzioni tende a $1$, questo è in sostanza il contenuto del cosiddetto teorema dei numeri primi), la seconda funzione di Chebyshev è asintotica a $x$.

Le singole note

Nel riquadro in basso viene mostrato separatamente il grafico del quarto termine, incluse le singole "note", una per ogni coppia di termini della sommatoria.

Il riquadro in basso con le singole "note" e la funzione a dente di sega irregolare risultante.
Il riquadro in basso con le singole "note" e la funzione a dente di sega irregolare risultante.

Sfruttando la simmetria degli zeri rispetto all'asse reale li ordiniamo secondo il valore assoluto della parte immaginaria e in modo che $\rho_{2 k + 1} = \rho_{2 k}^*$. Le singole "note" controllate dal cursore, una per ogni coppia di zeri non banali, sono quindi $$ y = \frac{x^{\rho_{2k}}}{\rho_{2k}} + \frac{x^{\rho_{2k}^*}}{\rho_{2k}^*} $$ che grazie alla presenza del complesso coniugato sono termini reali.

Secondo l'ipotesi di Riemann gli zeri non banali $\rho_k$ con $k \in \mathbb{N}$ sono nella forma $\rho_k = \frac{1}{2} + i \, \theta_k$. Quindi i termini $$ x^{\rho_k} = x^{\frac{1}{2} + i \, \theta_k} $$ essendo $a^{b + c} = a^b a^c$ e $a^{1 / 2} = \sqrt{a}$ $$ x^{\rho_k} = \sqrt{x} \, x^{i \, \theta_k} $$ sono sinusoidi ad ampiezza e lunghezza d'onda crescente (vedi Argand.exe, nella sezione riguardante l'identità di Eulero, per l'interpretazione geometrica di un'esponenziale con base reale ed esponente immaginario puro).

La prima "nota", una sinusoide ad ampiezza e lunghezza d'onda crescente, corrisponde ai primi due termini della sommatoria e quindi alla prima coppia di zeri non banali.
La prima "nota", una sinusoide ad ampiezza e lunghezza d'onda crescente, corrisponde ai primi due termini della sommatoria e quindi alla prima coppia di zeri non banali.

Nel riquadro in basso si vede quindi come la sommatoria di questi termini generi una sorta di onda a dente di sega irregolare, che sottratta agli altri termini della formula porta ad approssimare sempre meglio i gradini della seconda funzione di Chebyshev. Se fosse possibile inserire nella sommatoria tutti gli infiniti zeri si otterrebbe una corrispondenza perfetta.