Appunti di fisica teorica l'oscillatore armonico con il metodo della seconda quantizzazione

"La carriera di un giovane fisico teorico consiste nel trattare l'oscillatore armonico a livelli di astrazione sempre crescenti."

Il metodo della seconda quantizzazione consiste nel passare da una rappresentazione di un sistema fisico tramite coordinate che rappresentano lo stato del sistema ad una rappresentazione in cui ogni coordinata corrisponde al numero di particelle aventi un certo determinato stato. Questo metodo permette quindi di trattare sistemi in cui il numero di particelle è variabile.

Iniziamo applicandolo ad un problema particolarmente semplice ed elementare, che può essere affrontato anche con il formalismo della meccanica quantistica ordinaria. Consideriamo il cosiddetto oscillatore armonico unidimensionale, avente operatore hamiltoniano \begin{equation} \widehat{\mathscr{H}} = \frac{1}{2m} \widehat{p}^2 + \frac{1}{2} m \, \omega^2 \widehat{x}^2 \label{OscillatoreHamiltoniano} \end{equation} in cui compare la massa $m$, che definisce l'inerzia dell'oscillatore, la pulsazione $\omega$, che ne definisce la frequenza e gli operatori coordinata e impulso $\widehat x$ e $\widehat p$. Espliciteremo ogni passaggio di questo problema, seppur semplice, per chiarire in questo semplice caso ogni aspetto degli strumenti introdotti dalla seconda quantizzazione.

Introduciamo innanzitutto due nuovi operatori \begin{equation} \begin{alignedat}{2} \widehat X &= \sqrt{m \, \omega} \, \widehat x \\ \widehat P &= \frac{1}{\sqrt{m \, \omega}} \widehat p \end{alignedat} \label{OscillatoreOperatoriSimmetrici} \end{equation} che ci permettono di raccogliere $\frac{1}{2} \omega$ e riscrivere l'operatore hamiltoniano \eqref{OscillatoreHamiltoniano} nella forma più simmetrica \begin{equation} \widehat{\mathscr{H}} = \frac{1}{2} \omega \left( \widehat X^2 + \widehat P^2 \right) \label{OscillatoreHamiltonianoSimmetrico} \end{equation} Tale trasformazione corrisponde semplicemente ad un opportuna scelta delle unità di misura utilizzate. È evidente che il commutatore tra gli operatori definiti dalla \eqref{OscillatoreOperatoriSimmetrici}, essendo $\widehat x \, \widehat p - \widehat p \, \widehat x = i$, è ancora \begin{equation} \widehat X \, \widehat P - \widehat P \, \widehat X = i \label{OscillatoreCommutatore} \end{equation}

Definiamo ora i due operatori, l'uno aggiunto dell'altro \begin{equation} \begin{alignedat}{2} \widehat a &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \widehat X + i \widehat P \right) \\ \widehat a^+ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \widehat X - i \widehat P \right) \end{alignedat} \label{OscillatoreCreazioneDistruzione} \end{equation} che, come vedremo in seguito, corrispondono rispettivamente all'operatore di distruzione e all'operatore di creazione dei quanti di energia dell'oscillatore. Stiamo quindi applicando la seconda quantizzazione ad un caso limite in cui lo spazio dei numeri di occupazione è costituito da un singolo punto.

I prodotti degli operatori definiti dalle \eqref{OscillatoreCreazioneDistruzione}, ottenibili grazie al commutatore \eqref{OscillatoreCommutatore}, valgono rispettivamente $$ \begin{alignedat}{2} \widehat a \, \widehat a^+ &= \frac{1}{2} \left( \widehat X + i \widehat P \right) \left( \widehat X - i \widehat P \right) = \\ &= \frac{1}{2} \left[ \widehat X^2 +\widehat P^2 - i \left( \widehat X \widehat P - \widehat P \widehat X \right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( \widehat X^2 +\widehat P^2 \right) + \frac{1}{2} \end{alignedat} $$ e $$ \begin{alignedat}{2} \widehat a^+ \widehat a &= \frac{1}{2} \left( \widehat X - i \widehat P \right) \left( \widehat X + i \widehat P \right) = \\ &= \frac{1}{2} \left[ \widehat X^2 + \widehat P^2 + i \left( \widehat X \widehat P - \widehat P \widehat X \right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( \widehat X^2 + \widehat P^2 \right) - \frac{1}{2} \end{alignedat} $$ da cui si ricava subito il commutatore \begin{equation} \widehat a \, \widehat a^+ - \widehat a^+ \widehat a = 1 \label{OscillatoreCreazioneDistruzioneCommutatore} \end{equation} che corrisponde al commutatore generale per gli operatori di distruzione e creazione per il caso bosonico. Le oscillazioni fondamentali si comportano quindi come bosoni e, seguendo la statistica di Bose-Einstein, possono sovrapporsi, generando oscillazioni a diversi livelli di energia.

Inoltre, come vediamo dal secondo di tali prodotti, gli operatori \eqref{OscillatoreCreazioneDistruzione} permettono di semplificare ulteriormente la forma dell'operatore hamiltoniano \eqref{OscillatoreHamiltonianoSimmetrico} e scrivere $$ \widehat{\mathscr{H}} = \omega \left( \widehat a^+ \widehat a + \frac{1}{2} \right) $$ o ancora, definendo l'operatore $ \widehat N = \widehat a^+ \widehat a $ semplicemente \begin{equation} \widehat{\mathscr{H}} = \omega \left( \widehat N + \frac{1}{2} \right) \label{OscillatoreHamiltonianoN} \end{equation} Possiamo ora determinare gli autovalori dell'operatore $\widehat N$, che ci permetteranno grazie alla \eqref{OscillatoreHamiltonianoN} di stabilire le possibili energie dell'oscillatore.

Vediamo innanzitutto che se $\ket{n}$ è un autostato dell'operatore $\widehat N$ avente autovalore $n$ allora l'autostato $\widehat a \ket{n}$ ha autovalore $n - 1$, infatti, applicando l'operatore $\widehat N$ e utilizzando la regola di commutazione \eqref{OscillatoreCreazioneDistruzioneCommutatore} abbiamo $$ \begin{alignedat}{2} \widehat N \, \widehat a \ket{n} &= \widehat a^+ \widehat a \, \widehat a \ket{n} = \\ &= \left( \widehat a \, \widehat a^+ - 1 \right) \widehat a \ket{n} = \\ &= \widehat a \left( \widehat a^+ \widehat a - 1 \right) \ket{n} = \\ &= \widehat a \left( \widehat N - 1 \right) \ket{n} = \\ &= \left( n - 1 \right) \widehat a \ket{n} \end{alignedat} $$ e allo stesso modo l'autostato $\widehat a^+ \ket{n}$ ha autovalore $n + 1$, infatti $$ \begin{alignedat}{2} \widehat N \, \widehat a^+ \ket{n} &= \widehat a^+ \widehat a \, \widehat a^+ \ket{n} = \\ &= \widehat a^+ \left( \widehat a^+ \widehat a + 1 \right) \ket{n} = \\ &= \widehat a^+ \left( \widehat N + 1 \right) \ket{n} = \\ &= \left( n + 1 \right) \widehat a^+ \ket{n} \end{alignedat} $$ Vediamo quindi che gli operatori \eqref{OscillatoreCreazioneDistruzione} corrispondono effettivamente agli operatori di distruzione e di creazione di un quanto di energia.

Scriviamo ora l'equazione agli autovalori per l'operatore $\widehat N$ $$ \widehat N \ket n = n \ket n $$ esplicitando l'operatore $\widehat N$ definito a partire dagli operatori di creazione e distruzione $$ \widehat a^+ \widehat a \ket n = n \ket n $$ e moltiplichiamo membro a membro per il vettore bra $\bra n$, ottenendo $$ \bra n \widehat a^+ \widehat a \ket n = n \braket{n | n} = n $$ si ha però anche $$ \bra n \widehat a^+ \widehat a \ket n = \left( \widehat a \ket n \right)^+ \widehat a \ket n = \left| \widehat a \ket n \right|^2 $$ Confrontando le ultime due espressioni ottenute si ha $$ n = \left| \widehat a \ket n \right|^2 $$ e quindi $n \geq 0$.

Supponiamo ora che l'autovalore $n$ sia positivo e non intero e sia $m$ la parte intera di $n$. Lo stato $\widehat a \ket n$ ha autovalore $n - 1$, lo stato $\widehat a^2 \ket n$ ha autovalore $n - 2$, eccetera. Lo stato $\widehat a^m \ket n$ ha autovalore $n - m$, che dev'essere un numero compreso tra $0$ e $1$. Applicando ancora una volta l'operatore $\widehat a$ si ottiene $\widehat a^{m + 1} \ket n$ che ha autovalore $n - m - 1$, che deve essere negativo. L'assunto che $n$ possa non essere intero porta quindi ad una contraddizione. Gli autovalori devono quindi essere interi (oltre che non negativi) in modo tale che $\widehat a^n \ket n$ si annulli.

Essendo gli autovalore di $\widehat N$ interi e non negativi, utilizzando la \eqref{OscillatoreHamiltonianoN} otteniamo infine per le energie dell'oscillatore armonico l'espressione $$ \mathscr{E} = \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) , \quad n = 0 , 1 , 2 , ... $$ che corrisponde esattamente all'espressione che si può ottenere con il formalismo della meccanica quantistica ordinaria.