Matteo Basei

Una collezione di piccoli programmi realizzati a scopo didattico.

Mandelbrot.exe lungo l'orlo dell'infinito

"Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia non è liscia, né i fulmini viaggiano in linea retta."

Benoit Mandelbrot

L'insieme di Mandelbrot è l'insieme dei numeri complessi $c$ per i quali la successione $\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ definita da $$ \begin{alignedat}{2} z_0 &= 0 \\ z_{n + 1} &= z_n^2 + c \end{alignedat} $$ è limitata.

Mandelbrot 1

Questa definizione è dovuta a Adrien Douady (facente parte dell'ultima generazione di membri del gruppo Bourbaki), che nominò l'insieme in onore di Benoit Mandelbrot, pioniere nello studio della geometria frattale. Il termine frattale è stato coniato da Mandelbrot stesso, mutuandolo dal latino "fractus", spezzare, frantumare.

Mandelbrot 2

La successione inizia quindi con i seguenti termini $$ \begin{alignedat}{2} z_0 &= 0 \\ z_1 &= c \\ z_2 &= c^2 + c \\ z_3 &= (c^2 + c)^2 + c \\ z_4 &= ((c^2 + c)^2 + c)^2 + c \\ ... \end{alignedat} $$

Mandelbrot 3

Partendo da un determinato numero $c$, e quindi da un determinato punto nel piano complesso (se questa cosa non ti è familiare puoi dare un'occhiata al mio programma Argand.exe, che aiuta a visualizzare l'interpretazione geometrica dei numeri complessi), possono succedere due cose: o la traiettoria individuata dai vari $z_n$ si ritorce su se stessa, restando sempre in una zona limitata del piano (successione limitata) oppure la traiettoria si "srotola" verso l'infinito (successione divergente). Nel primo caso il punto $c$ appartiene all'insieme di Mandelbrot, nel secondo caso no.

Mandelbrot 4

A dispetto di una definizione tanto semplice il bordo dell'insieme di Mandelbrot è un frattale estremamente vario e complesso. È inoltre notevole il fatto che, nonostante le apparenze, tale insieme è connesso, cioè è costituito da un "unico pezzo", come dimostrato da Douady.

Mandelbrot 5

A rigore, rappresentando l'insieme di Mandelbrot, ci sono solo due tipi di punti da visualizzare: quelli che fanno parte dell'insieme e quelli che non ne fanno parte. È poi uso comune colorare i punti che non fanno parte dell'insieme con intensità collegate a quanto velocemente la successione diverge. In particolare si utilizza il modulo dell'ultimo $z_n$ quando è diventato maggiore di $2$ (si può dimostrare che quando il modulo diventa maggiore di $2$ la successione divergerà) oppure il numero di iterazioni eseguite prima che ciò sia avvenuto.

Mandelbrot 6

Spesso si vedono usati colori di vario tipo in vari modi, sempre legati al comportamento delle successioni divergenti. In questa implementazione, a differenza di molte altre viste altrove, ho volutamente ridotto al minimo l'uso dei colori, per far "venir fuori" il più possibile la complessità dell'insieme così com'è, senza artifici o aggiunte.

Mandelbrot 7

Puoi trovare altro riguardo l'insieme di Mandelbrot e altri frattali ad esso collegati in questa pagina.

Mandelbrot 8

Riguardo ad una definizione generale di frattali e, anche restando nell'ambito dei frattali nel piano complesso, riguardo i frattali che si possono ottenere considerando funzioni differenti da $f(z) = z^2 + c$, potrebbe invece interessarti quest'altra pagina.

Mandelbrot 9
Mandelbrot 10
Mandelbrot 11
Mandelbrot 12
Mandelbrot 13
Mandelbrot 14
Mandelbrot 15
Mandelbrot 16
Mandelbrot 17
Mandelbrot 18
Mandelbrot 19
Mandelbrot 20